Γενικά για το μάθημα

Ο Απειροστικός Λογισμός ΙΙ αποτελεί συνέχεια του Απειροστικού Λογισμού Ι και διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών (ΕΚΠΑ). Το μάθημα αυτό εμβαθύνει σε προχωρημένες έννοιες του απειροστικού λογισμού, επεκτείνοντας τις γνώσεις των φοιτητών σε νέες περιοχές της μαθηματικής ανάλυσης

​​

 Περιεχόμενο του μαθήματος:

1. Υπακολουθίες και Βασικές Ακολουθίες

📌 Οι ακολουθίες παίζουν κεντρικό ρόλο στην ανάλυση, καθώς επιτρέπουν τη μελέτη της σύγκλισης και της συμπεριφοράς των πραγματικών αριθμών.

✔ Υπακολουθίες & Σύγκλιση
✔ Θεώρημα Bolzano-Weierstrass και σημεία συσσώρευσης
✔ Ανώτερο & Κατώτερο όριο – Ερμηνεία και εφαρμογές
✔ Ακολουθίες Cauchy και σύνδεσή τους με την πληρότητα των πραγματικών αριθμών

🔹 Η μελέτη των ακολουθιών αποτελεί τη βάση για την κατανόηση των σειρών και των ορίων συναρτήσεων.

​

2. Σειρές Πραγματικών Αριθμών & Δυναμοσειρές

📌 Οι σειρές είναι απειροστά αθροίσματα όρων, τα οποία εμφανίζονται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες και εφαρμογές.

✔ Ορισμός σύγκλισης σειράς & βασικές ιδιότητες
✔ Κριτήρια σύγκλισης (κριτήριο σύγκρισης, κριτήριο ρίζας, κριτήριο λόγου)
✔ Εναλλάσσουσες σειρές & Κριτήριο Dirichlet
✔ Δυναμοσειρές και ακτίνα σύγκλισης

🔹 Η μελέτη των δυναμοσειρών είναι απαραίτητη για τη μιγαδική ανάλυση και τις εφαρμογές στη φυσική και την πληροφορική.

​

3. Ομοιόμορφη Συνέχεια & Ιδιότητες Συνεχών Συναρτήσεων

📌 Η ομοιόμορφη συνέχεια είναι μια ενίσχυση της συνέχειας που παίζει κρίσιμο ρόλο στην ολοκλήρωση και τη μελέτη συναρτήσεων.

✔ Ορισμός και παραδείγματα ομοιόμορφης συνέχειας
✔ Χαρακτηρισμός μέσω ακολουθιών
✔ Θεώρημα Weierstrass – Η συνέχεια συνεπάγεται ομοιόμορφη συνέχεια σε κλειστά διαστήματα

🔹 Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι κρίσιμη για την ολοκληρωσιμότητα των συναρτήσεων και την ανάλυση της συμπεριφοράς τους.

​

4. Ολοκλήρωμα Riemann & Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού

📌 Το ολοκλήρωμα Riemann αποτελεί τη μαθηματική θεμελίωση της έννοιας του "εμβαδού κάτω από μια καμπύλη" και είναι βασικό εργαλείο στην ανάλυση.

✔ Ορισμός του Ολοκληρώματος Riemann κατά Darboux και κατά Riemann & Παραδείγματα
✔ Κριτήριο Riemann για ολοκληρωσιμότητα
✔ Ολοκληρωσιμότητα συνεχών και μονότονων συναρτήσεων
✔ Θεώρημα Μέσης Τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού
✔ Θεμελιώδη Θεώρηματα του Απειροστικού Λογισμού
✔ Τεχνικές ολοκλήρωσης (κατά μέρη, με αντικατάσταση, γενικευμένα ολοκληρώματα)

🔹 Η κατανόηση του ολοκληρώματος Riemann είναι θεμελιώδης για όλες τις εφαρμοσμένες επιστήμες, από τη φυσική μέχρι τα οικονομικά.

​

5. Θεώρημα Taylor & Αναπτύγματα Δυναμοσειρών

📌 Το Θεώρημα Taylor επιτρέπει την προσέγγιση μιας συνάρτησης από πολυώνυμα, με σημαντικές εφαρμογές στην αριθμητική ανάλυση και τη φυσική.

✔ Ορισμός και μορφές υπολοίπου
✔ Αναπτύγματα Taylor βασικών συναρτήσεων
✔ Εφαρμογές των δυναμοσειρών στην προσέγγιση συναρτήσεων

🔹 Το Θεώρημα Taylor είναι κρίσιμο για τη Μιγαδική Ανάλυση, τις Διαφορικές Εξισώσεις και τις εφαρμογές σε φυσικά μοντέλα.

​

​

1. Εστίασε στη Θεωρία & Κατανόησε τις Αποδείξεις

✔ Μην προσπαθείς να απομνημονεύσεις θεωρήματα – αντίθετα, κατανόησε το νόημά τους.
✔ Μελέτησε τις αποδείξεις των θεωρημάτων! Οι εξετάσεις συχνά περιλαμβάνουν αποδείξεις ή παραλλαγές τους.
✔ Κατάγραψε σχόλια και παρατηρήσεις για κάθε βασικό θεώρημα.

🔹 Αν συναντάς δυσκολία σε μια απόδειξη, διάσπασέ την σε μικρότερα κομμάτια και προσπάθησε να εξηγήσεις κάθε βήμα.

2. Λύσε Πολλές Ασκήσεις – Η Πρακτική Είναι Κλειδί

✔ Ξεκίνα από βασικές ασκήσεις για να εμπεδώσεις τις έννοιες.
✔ Προχώρησε σε ασκήσεις εξετάσεων προηγούμενων ετών για να εξοικειωθείς με τη δομή των θεμάτων.
✔ Αν κολλήσεις σε μια άσκηση, προσπάθησε να την ξαναδείς την επόμενη μέρα – συχνά, το μυαλό σου θα τη δει πιο καθαρά.
✔ Λύσε ασκήσεις χωρίς να κοιτάς τις λύσεις!

🔹 Το να μελετάς απλώς λυμένες ασκήσεις δεν βοηθάει. Είναι καλύτερο να προσπαθείς να λύσεις μια άσκηση ακόμα κι αν σου πάρει μέρες, παρά να κοιτάς 20 έτοιμες λύσεις χωρίς να κατανοείς τις λεπτομέρειες.

3. Μην Αγνοείς τις Δυσνόητες Έννοιες – Βρες τα Κενά σου

📌 Αν σε κάποιο σημείο νιώθεις ότι δεν καταλαβαίνεις τίποτα, πιθανότατα έχεις κενά από προηγούμενη ύλη.

✔ Επιστρέφεις πίσω στις βασικές έννοιες και συμπληρώνεις τα κενά.
✔ Αν δυσκολεύεσαι με τα όρια, τις συναρτήσεις ή τις παραγώγους, ανατρέχεις στα βασικά θεωρήματα και παραδείγματα.
✔ Η εμβάθυνση στα βασικά μπορεί να σε βοηθήσει να κατανοήσεις πιο σύνθετα θέματα αργότερα.

🔹 Μην κάνεις το λάθος να προσπεράσεις ένα δύσκολο σημείο χωρίς να το έχεις καταλάβει. Αν υπάρχει ένα "μπέρδεμα", σημαίνει ότι κάτι σου λείπει από προηγούμενες γνώσεις.

4. Διαχειρίσου το Διάβασμα σου με Στρατηγική

📌 Ένας καλός προγραμματισμός θα σε βοηθήσει να διαβάσεις αποδοτικά και χωρίς άγχος.

✔ Χώρισε την ύλη σε μικρά κομμάτια και διάβασε συστηματικά κάθε μέρα.
✔ Κάνε επαναλήψεις ανά τακτά διαστήματα για να διατηρήσεις τη γνώση σου.
✔ Διάβασε με χαρτί και στυλό – η γραφή βοηθά στην κατανόηση.

🔹 Το να μελετάς μαθηματικά χωρίς να γράφεις και χωρίς να λύνεις ασκήσεις είναι σαν να προσπαθείς να μάθεις κιθάρα διαβάζοντας ένα βιβλίο για μουσική χωρίς να αγγίζεις το όργανο.